فخری ملک پور نوازنده، آهنگساز و موسیقی دان پدرش «سیدذبیح الله مَلِک پور» با هنرمندان بسیاری هم نشین بود، به همین سبب از سن ۹ سالگی نواختن پیانو را نزد مرتضی محجوبی آغاز کرد. او به مدت ۱۲ سال ردیف سازی و آوازی موسیقی به همراه آثار و سبک نوازندگی مرتضی محجوبی را فراگرفت. وی نواختن ساز سه تار را نزد احمد عبادی، آشنایی با آواز را نزد ادیب خوانساری، آشنایی با تمبک را نزد حسین تهرانی و مبانی آهنگسازی را نزد علی تجویدی آموخته است. او همچنین مدتی نزد فوزیه مجد موسیقی کلاسیک را فراگرفت. او با هنرمندانی نظیر: پرویز یاحقی، محمود خوانساری، اسدالله ملک، فرهنگ شریف، رضا ورزنده، حسن کسایی، عبدالوهاب شهیدی و محمدرضا شجریان همکاری داشته است. او علاوه بر نوازندگی و آهنگسازی سال ها به تدریس پیانو نیز مشغول بوده است. از وی به عنوان تنها شاگرد و راوی مستقیم مرتضی محجوبی یاد می شود.
در شهریور ۱۳۹۶ مراسم تجلیل از مقام هنری فخری ملک پور در تالار وحدت تهران برگزار شد.در دی ۱۳۹۷ در چهارمین جشن موسیقی ما جایزه ویژه نوازندگی به فخری ملک پور اهدا شد و مورد تجلیل قرار گرفت. همچنین در بهمن ۱۳۹۷ در مراسم اختتامیه سی و چهارمین جشنواره موسیقی فجر از فخری ملک پور تجلیل به عمل آمد.